PRIMER Y SEGUNDO PARCIAL
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA
La palabra geometria se deriva de los vocablos geos-tierra y metron-medida.
Los antiguos egipcios, chinos, babilonicos, romanos, y griegos utilizaron la geometria en la navegacion, astronomia y otras labores practicas.
Los griegos trataron de sistematizar los datos geometricos que conocian estableciendo razones logicas y relaciones entre ellos.
Es posible que haya sido la naturaleza la que proporciono al ser humano las primeras nociones de la geometria.
Hay muchos ejemplos de formas geometricas en el mundo fisico. Con el paso de los siglos el hombre comenzo a clasificar esas formas les dio nombre y creo definiciones para descubrirlos.
Los triangulos, cuadrilateros, pentagonos y hexagonos son ejemplos de la figuras geometricas llamadas poligonos.
Con frecuencia, se busca la relacion que existe entre dos o mas figuras geometricas.
En todas las epocas el hombre ha utilizado las sencillas formas geometricas que sugiere la naturaleza para la creacion de objetos utiles e interesantes.
Debido a que estamos rodeados de objetos es compresible la importancia que tiene poder hablar sobre ellos. Al comunicarnos con otras personas para descubrir el medio en que vivimos necesitamos un leguaje de geometria.
Ejercicio: Si solo se dispone de una cuerda y una cinta de medir. ¿Como podria marcarse una esquina para medir un campo de fútbol?
Los primeros conocimientos geometricos que tuvo el hombre consistian en un conjunto de reglas practicas para que la geometria fuera considerada como ciencia tuvieron que pasar muchos siglos hasta llegar a los griegos. Es en Grecia donde se ordenan los conocimientos y se eleva a la geometria al plano rigurosamente cientifico.
PUNTO, LINEA Y PLANO
Un punto solo tiene posicion, no tiene longitud, anchura o grosor.
.A
Una linea o recta tiene longitud pero no anchura.
________
AB
Una linea puede ser recta o curva o una combinacion de ambas. Para entender como difieren las lineas piense en que una linea se genera con un punto en movimiento si es recta se mueve siempre en la misma direccion continuamente. Dos linea se intersectan en un punto.
Una linea recta puede extenderse en forma ilimitada.
Un plano tiene longitud y anchura pero no espesor. Puede representarse por medio de un pintarron o el lado de una caja. Una superficie plana es una superficie tal que si es una linea recta conecta dos puntos cualesquiera esta queda contenida en ella en forma total.
Ejercicio Uno:
Punto, linea y plano son terminos indefinidos.
Indique cual de estos terminos se ilustra
a)La cubierta de un escritorio : Plano
b)Una pantalla cinematografica: Plano
c)El filo de un cuchillo: Linea
d)Un hilo en tensión: Linea
e)La punta de un alfiler: Punto
SEGMENTOS DE LINEA
Un segmento de linea es la parte entre dos puntos de un linea recta, incluyendo estos dos puntos se designan por las letras mayusculas que representan a estos puntos o por una letra minuscula.
A__________B
r
Division de un segmento de linea en partes
Si dividimos un segmento de linea en partes:
1.- La longitud del segmento completo es igual a la suma de las longitudes de sus partes.
A.__B.__C.__D.__E.__ AB+BC+CD+DE= AE
2.-La longitud del segmento de linea completo es mayor que la longitud de cualquiera de sus partes.
A.__i.__x.__B.__ AB>X
Si un segmento de linea se divide en dos partes iguales.
2.1.- El punto de division es el punto medio del segmento de linea.
2.1.- Se dice que una linea bisecta el segmento cuando pasa por el punto medio de un segmento es decir:
A__________.M___________B AM=MB
3.-Si tres puntos A,B,C estan sobre una linea decimos que son colineales. Si ABC son colineales y AB+BC=AC entonces B esta entre A y C es decir:
A.________B.________.C AB+ BC=AC
SEGMENTOS CONGRUENTES
Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.
A._________B.__________C AB ~=~ BC
Ejercicio 2:
Identifique cada uno de los segmentos de linea marcados.
AB, BC, CD, DA, AC
3) Identifique los segmentos de linea que intersectan en A
AB, AC, AD
4)¿Que otro segmento de linea se puede trazar?
BD
5)Identifica el punto de interseccion de CD Y AD
Es D
-Identifica los segmentos de linea que intersectan en B:
R=AB CB DB
-Calcula la longitud de AB, AC y AF= 10,20,10
-Identifica dos puntos medios EF= AD, DB
-Identifica todos los puntos medios EF= AE, EF,BC,FC
Tipos de Triangulos
Triangulo equilatero: Tres lados iguales, tres angulos iguales todos de 60°
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Triangulo isosceles: Dos lados iguales, dos angulos iguales.
Triangulo escaleno: No hay lados iguales, no hay angulos iguales
Calculo de bisectriz
Identificar dos pares de <'s suplementarios
R=< CED Y <CEA <BED Y <AEB
Identificar dos pares de <'s complementarios
R= <EJF Y <HJF <EJG Y <HJG
Identificar dos pares de <'s opuestos por el vertice
R= <8 Y <10 Y <9 Y <MZK
Examen: Encuentra dos angulos tales que:
a) Los angulos son suplementarios y el mayor es dos veces el menor
< menor: 60°
<Mayor:120°
b) Los angulos son complementarios y el mayor es 20° mayor que el menor
<menor: 35° x+x+20°=90
<mayor:55° 2+20=90
2x=110 110/2= 55°
c) Los angulos son adyacentes y forman un angulo de 120°. El mayor es 20° menor que tres
veces el menor.
<menor: 35° 3x+20+x=120
<mayor: 85° 4x=140
x=140/4= 35
d) Los angulos son opuestos por el vertice y complementarios
<1: 45° x+x=90
<2:45° 2x=90
x=90/2 x=45
PRINCIPIOS BASICOS DE TRIANGULOS CONGRUENTES
Los criterios o principios de congruencia nos dicen cómo determinar si dos triángulos son congruentes sin necesidad de verificar las seis igualdades entre lados y ángulos correspondientes.
Criterio LAL (Lado-ángulo-lado). Es posiblemente el criterio de congruencia más básico, este criterio nos dice que si, en una correspondencia de triángulos, dos lados de uno y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos triángulos son congruentes.
Algunos textos de geometría –los más formales, en el sentido lógico— toman este criterio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA y el LLL. Otros textos –la mayoría— postulan como verdaderos los tres criterios. Es recomendable entonces que el aprendiz tome los tres como postulados pues, si de cualquier manera se va a tomar uno como postulado…
Criterio LLL (Lado-lado-lado). Este criterio afirma que si en una correspondencia de triángulos los lados correspondientes son iguales, entonces los triángulos serán congruentes.
Criterio ALA (Ángulo-lado-ángulo). Si en una correspondencia de triángulos, dos ángulos en uno de ellos y el lado común son iguales sus correspondientes del otro triángulo, entonces los triángulos serán congruentes.
LINEAS PARALELAS
Rectas paralelas cortadas por una secante
Cuando dos paralelas son cortadas por una secante se forman 8 ángulos: cuatro internos y cuatro externos. Los que se encuentran del mismo lado de la secante se llaman conjugados. Estos son los nombres de los ángulos:
Ángulos correspondientes: Son dos ángulos no adyacentes situados en el mismo lado de la secante.
Ángulos alternos internos: Son ángulos internos no adyacentes situados en distinto lado de la secante.
Ángulos alternos externos: Son ángulos externos no adyacentes situados en distinto lado de la secante.
Ángulos conjugados internos: Son dos ángulos internos no adyacentes situados en el mismo lado de la secante.
Ángulos conjugados externos: Son dos ángulos externos no adyacentes situados en el mismo lado de la secante.
IMPORTANTE:
Los Ángulos correspondientes tienen igual medida.
Los Ángulos alternos tienen igual medida.
Los Ángulos conjugados suman 180°, pues son suplementarios.
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