TEOREMAS

Teorema 1:

Si cualquier recta pasa por el centro del circulo y es perpendicular a una de las cuerdas, entonces bisecta a dicha cuerda.

Teorema 2:

Si en cualquier circulo dos cualesquiera de sus cuerdas son congruentes, entonces dichas equidistan de su centro.

Teorema 3: 

Dos o más círculos son congruentes si tienen sus radios respectivamente congruentes.

Teorema 4:

Si una recta es tangente de un circulo, entonces el radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Teorema 5:

Si desde un punto exterior a un mismo círculo, se trazan tangentes a el, entonces:

*Los segmentos de tangentes determinados por el punto exterior y los puntos de tangencia, con congruentes.

*Los ángulos formados por las tangentes y la semirrecta con extremo en el punto exterior y que pasa por el centro del circulo son congruentes.

Ejercicios:

Acertijos:
La barra de plata Un buscador de plata no podía pagar su alquiler de marzo por adelantado. Tenía una barra de plata pura de 31 centímetros de largo; de modo que hizo con su casera el siguiente arreglo: Le dijo que cortaría la barra en pedazos más pequeños. El primer día de marzo le daría a la casera un centímetro de la barra, y cada día subsiguiente le agregaría otro centímetro más. Ella conservaría la plata en prenda. A fin de mes, el buscador esperaba estar en condiciones de pagarle la renta completa, y ella le devolvería los pedazos de la barra de plata. 


Marzo tiene 31 días, de modo que una manera de cortar la plata era dividirla en 31 partes, cada una de un centímetro de largo. Pero como era bastante laborioso cortarla, el buscador deseaba cumplir el acuerdo dividiéndola en el menor número posible de partes. Por ejemplo, podía darle a la casera un centímetro el primer día, otro centímetro el segundo día, y el tercer día podía entregarle una parte de tres centímetros y recibir a cambio las dos partes anteriores de un centímetro. 
Suponiendo que las porciones de barra fueran entregadas y devueltas de esta manera, ve si puedes determinar el menor número posible de partes en las que el buscador debe dividir su barra de plata. 

Solución El buscador puede cumplir el trato cortando su barra de plata de 31 cm en cinco partes de 1, 2, 4, 8 y 16 cm de longitud. El primer día le da a la casera el pedazo de 1 cm, el día siguiente ella se lo devuelve y él da el pedazo de 2 cm; el tercer día él vuelve a darle el pedazo de 1 cm., el cuarto día ella le devuelve ambas piezas y él le da el pedazo de barra de plata de 4 cm. Al dar y devolver de ésta manera, el buscador puede agregar un centímetro por día y cubrir así los 31 días del mes. 
La solución de este problema puede expresarse muy simplemente en el sistema binario de la aritmética. Es un método para expresar números enteros utilizando solamente los dígitos 1 y 0. Recientemente se ha convertido en un sistema importante porque la mayoría de las computadoras electrónicas gigantes operan sobre una base binaria. Así es como se escribiría el número 27, por ejemplo, si usamos el sistema binario: 

11011 
¿Cómo sabemos que éste es el 27? La manera de traducirlo a nuestro sistema decimal es la siguiente: sobre el dígito de la derecha del número binario, escribimos "1". Sobre el dígito siguiente, hacia la izquierda, escribimos "2"; sobre el tercer dígito hacia la izquierda escribimos "4"; sobre el dígito siguiente, "8", y sobre el último dígito de la izquierda, "16". (Ver figura 3). Estos valores forman la serie 1, 2, 4, 8, 16, 32... en la que cada número es el doble del que lo precede. 


El paso siguiente consiste en sumar todos los valores que estén sobre los "1" del número binario. En este caso, los valores son 1, 2, 8, 16 (4 no se incluye porque está sobre un 0). Sumados dan 27, de modo que el número binario 11011 es igual al 27 de nuestro sistema numérico. 

Números Binarios del 1 al 31 de marzo

	16	8	4	2	1
1					1
2				1	0
3				1	1
4			1	0	0
5			1	0	1
6			1	1	0
7			1	1	1
8		1	0	0	0
9		1	0	0	1
10		1	0	1	0
11		1	0	1	1
12		1	1	0	0
13		1	1	0	1
14		1	1	1	0
15		1	1	1	1
16	1	0	0	0	0
17	1	0	0	0	1
18	1	0	0	1	0
19	1	0	0	1	1
20	1	0	1	0	0
21	1	0	1	0	1
22	1	0	1	1	0
23	1	0	1	1	1
24	1	1	0	0	0
25	1	1	0	0	1
26	1	1	0	1	0
27	1	1	0	1	1
28	1	1	1	0	0
29	1	1	1	0	1
30	1	1	1	1	0
31	1	1	1	1	1

Cualquier número de 1 a 31 puede expresarse de esta manera con un número binario de no más de cinco dígitos. Exactamente de la misma manera, puede formarse cualquier número de centímetros de plata, de 1 a 31, con cinco pedazos de plata si las longitudes de esas cinco piezas son de 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros. 
La tabla anterior consigna los números binarios para cada día de marzo. Advertirás que para el 27 de marzo el número es 11011. Esto nos dice que los 27 cm de plata de la casera estarán formados por las piezas de 1, 2, 8 y 16 cm. Elige un día al azar y advierte con cuánta rapidez puedes calcular exactamente cuáles piezas de plata sumadas dan la cantidad que corresponde al número del día. 

-Acertijo: Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una? 

R= Beatriz Gimnasta, Ana Nadadora, Carmen Tenista

-el caballo de mac es más oscuro que el de smit,pero más rapido y más viejo que el de jack , que es aún más lento que el de Wily , que es más joven que el de mac , que es más viejo que el de smith, que es más claro que el de wily, aunque el de jack es más lento y más oscuro que el de smith.¿cual es el más viejo, más lento y más claro?
R : más viejo el de mac, el de jack es el más lento y el de smith es más claro

TERCER PARCIAL

CIRCULO 

Es el conjunto de todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Circunferencia:

La distancia alrededor del circulo mide 360°.

Radio : 

Un radio de circulo es un segmento que une al centro con algún punto del circulo.

CUERDA:

*Un polígono inscrito es un segmento de linea que une dos puntos de la circunferencia.

*Un diámetro de un circulo es una cuerda que pasa a través de su centro.

*Una secante de un circulo es una linea que intercepta al circulo en dos puntos.

*Una tangente a un circulo en uno y solo un punto sin importar que tanto se extienda la linea.

Rectas paralelas cortadas por una secante

PRIMER Y SEGUNDO PARCIAL
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA

La palabra geometria se deriva de los vocablos geos-tierra y metron-medida.

Los antiguos egipcios, chinos, babilonicos, romanos, y griegos utilizaron la geometria en la navegacion, astronomia y otras labores practicas.

Los griegos trataron de sistematizar los datos geometricos que conocian estableciendo razones logicas y relaciones entre ellos.

Es posible que haya sido la naturaleza la que proporciono al ser humano las primeras nociones de la geometria.

Hay muchos ejemplos de formas geometricas en el mundo fisico. Con el paso de los siglos el hombre comenzo a clasificar esas formas les dio nombre y creo definiciones para descubrirlos.

Los triangulos, cuadrilateros, pentagonos y hexagonos son ejemplos de la figuras geometricas llamadas poligonos.

Con frecuencia, se busca la relacion que existe entre dos o mas figuras geometricas.

En todas las epocas el hombre ha utilizado las sencillas formas geometricas que sugiere la naturaleza para la creacion de objetos utiles e interesantes.

Debido a que estamos rodeados de objetos es compresible la importancia que tiene poder hablar sobre ellos. Al comunicarnos con otras personas para descubrir el medio en que vivimos necesitamos un leguaje de geometria.

Ejercicio: Si solo se dispone de una cuerda y una cinta de medir. ¿Como podria marcarse una esquina para medir un campo de fútbol? 

https://www.google.com.mx/search?

Los primeros conocimientos geometricos que tuvo el hombre consistian en un conjunto de reglas practicas para que la geometria fuera considerada como ciencia tuvieron que pasar muchos siglos hasta llegar a los griegos. Es en Grecia donde se ordenan los conocimientos y se eleva a la geometria al plano rigurosamente cientifico.

  

PUNTO, LINEA Y PLANO

 Un punto solo tiene posicion, no tiene longitud, anchura o grosor.

                                                             .A

Una linea o recta tiene longitud pero no anchura.

                                                             ________

                                                                AB

Una linea puede ser recta o curva o una combinacion de ambas. Para entender como difieren las lineas piense en que una linea se genera con un punto en movimiento si es recta se mueve siempre en la misma direccion continuamente. Dos linea se intersectan en un punto.

Una linea recta puede extenderse en forma ilimitada.

Un plano tiene longitud y anchura pero no espesor. Puede representarse por medio de un pintarron o el lado de una caja. Una superficie plana es una superficie tal que si es una linea recta conecta dos puntos cualesquiera esta queda contenida en ella en forma total.

Ejercicio Uno:

Punto, linea y plano son terminos indefinidos.

Indique cual de estos terminos se ilustra

a)La cubierta de un escritorio :             Plano

b)Una pantalla cinematografica:           Plano

c)El filo de un cuchillo:                            Linea

d)Un hilo en tensión:                               Linea

e)La punta de un alfiler:                          Punto

SEGMENTOS DE LINEA

Un segmento de linea es la parte entre dos puntos de un linea recta, incluyendo estos dos puntos se designan por las letras mayusculas que representan a estos puntos o por una letra minuscula.

                                                                   

                                                  A__________B

                                                             r

Division de un segmento de linea en partes 

Si dividimos un segmento de linea en partes:

1.- La longitud del segmento completo es igual a la suma de las longitudes de sus partes.

                           A.__B.__C.__D.__E.__   AB+BC+CD+DE= AE

2.-La longitud del segmento de linea completo es mayor que la longitud de cualquiera de sus partes.

                     A.__i.__x.__B.__      AB>X

Si un segmento de linea se divide en dos partes iguales.

2.1.- El punto de division es el punto medio del segmento de linea.

2.1.- Se dice que una linea bisecta el segmento cuando pasa por el punto medio de un segmento es decir:

                           

                                         A__________.M___________B AM=MB

3.-Si tres puntos A,B,C estan sobre una linea decimos que son colineales. Si ABC son colineales y AB+BC=AC entonces B esta entre A y C es decir:

                                      A.________B.________.C AB+ BC=AC

SEGMENTOS CONGRUENTES

Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

                                               A._________B.__________C  AB ~=~ BC

Ejercicio 2:

Identifique cada uno de los segmentos de linea marcados.

 AB, BC, CD, DA, AC

3) Identifique los segmentos de linea que intersectan en A

        AB, AC, AD

4)¿Que otro segmento de linea se puede trazar? 

          BD

5)Identifica el punto de interseccion de CD Y AD 

      Es D

-Identifica los segmentos  de linea que intersectan en B: 

R=AB CB DB 

-Calcula la longitud de AB, AC y AF= 10,20,10

-Identifica dos puntos medios EF= AD, DB

-Identifica todos los puntos medios EF= AE, EF,BC,FC

Tipos de Triangulos

Triangulo equilatero: Tres lados iguales, tres angulos iguales todos de 60° 

Triangulo isosceles: Dos lados iguales, dos angulos iguales.

Triangulo escaleno: No hay lados iguales, no hay angulos iguales 

Calculo de bisectriz

https://www.youtube.com/watch?v=xO11r5OnVSA

Identificar dos pares de <'s suplementarios

R=< CED Y <CEA <BED Y <AEB 

 Identificar dos pares de <'s complementarios

R= <EJF Y <HJF <EJG Y <HJG

Identificar dos pares de <'s opuestos por el vertice

R= <8 Y <10 Y <9 Y <MZK

Examen: Encuentra dos angulos tales que:

a) Los angulos son suplementarios y el mayor es dos veces el menor

< menor: 60°

<Mayor:120°

b) Los angulos son complementarios y el mayor es 20° mayor que el menor

<menor: 35°                           x+x+20°=90

<mayor:55°                             2+20=90

                                                    2x=110  110/2= 55°

c) Los angulos son adyacentes y forman un angulo de 120°. El mayor es 20° menor que tres  

veces  el menor.

<menor: 35°          3x+20+x=120

<mayor: 85°            4x=140

                                     x=140/4= 35

d) Los angulos son opuestos por el vertice y  complementarios 

<1: 45°         x+x=90

<2:45°             2x=90 

                           x=90/2 x=45

PRINCIPIOS BASICOS DE TRIANGULOS CONGRUENTES

Los criterios o principios de congruencia nos dicen cómo determinar si dos triángulos son congruentes sin necesidad de verificar las seis igualdades entre lados y ángulos correspondientes.

Criterio LAL (Lado-ángulo-lado).  Es posiblemente el criterio de congruencia más básico, este criterio nos dice que si, en una correspondencia de triángulos, dos lados de uno y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos triángulos son congruentes.

Algunos textos de geometría –los más formales, en el sentido lógico— toman este criterio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA y el LLL. Otros textos –la mayoría— postulan como verdaderos los tres criterios. Es recomendable entonces que el aprendiz  tome los tres como postulados pues, si de cualquier manera se va a tomar uno como postulado…

Criterio LLL (Lado-lado-lado). Este criterio afirma que si en una correspondencia de triángulos los lados correspondientes son iguales, entonces los triángulos serán congruentes.

Criterio ALA (Ángulo-lado-ángulo). Si en una correspondencia de triángulos, dos ángulos en uno de ellos y el lado común son iguales sus correspondientes del otro triángulo, entonces los triángulos serán congruentes.

LINEAS PARALELAS

Rectas paralelas cortadas por una secante

Cuando dos paralelas son cortadas por una secante se forman 8 ángulos: cuatro internos y cuatro externos. Los que se encuentran del mismo lado de la secante se llaman conjugados. Estos son los nombres de los ángulos:  

Ángulos correspondientes: Son dos ángulos no adyacentes situados en el mismo lado de la secante.

Ángulos alternos internos: Son ángulos internos no adyacentes situados en distinto lado de la secante.  

Ángulos alternos externos: Son ángulos externos no adyacentes situados en distinto lado de la secante.  

Ángulos conjugados internos: Son dos ángulos internos no adyacentes situados en el mismo lado de la secante.  

Ángulos conjugados externos: Son dos ángulos externos no adyacentes situados en el mismo lado de la secante.  

IMPORTANTE: 

Los Ángulos correspondientes tienen igual medida. 

Los Ángulos alternos tienen igual medida. 

Los Ángulos conjugados suman 180°, pues son suplementarios. 

TERCER PARCIAL

PARALELOGRAMOS

*Cuadrilátero cuyos lados son paralelos.
*La diagonal de un paralelogramo lo divide en triángulos congruentes.
*Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
*Las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre sí.

PARALELOGRAMOS ESPECIALES:

*Un rectángulo un paralelogramo equiangular.
*Un rombo es un paralelogramos equilatero.
*Un cuadrado es un paralelogramo equilatero y equiangular (es un rectángulo y un rombo).

Tarea:
Investigar los principios sobre puntos medios y medianas de triángulos y trapezoides:

Medianas: de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.
*Un segmento medio de un triángulo es un segmento que conecta los puntos medios de dos lados de un triángulo.
En la figura D es el punto medio de  y E es el punto medio de .
Así,  es un segmento medio.
*Un segmento medio conectando dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y es la mitad de su largo.

Si AD = DB y AE = EC,

*El segmento medio de un trapezoide es el segmento que conecta los puntos medios de los dos lados no paralelos.
En el trapezoide ABCD siguiente, el segmento PQ es el segmento medio.
La longitud del segmento medio del trapezoide es la mitad de la suma de las longitudes de los dos lados paralelos. En la figura anterior:

Circunferencia Inscrita:

Circunferencia Circunscrita:

Baricentro:

Ortocentro:

TERCER PARCIAL
TRAPEZOIDES:

*Es un cuadrilátero que tiene dos y solo dos lados paralelos.
*Las bases son sus lados paralelos.
*Los lados son los no paralelos.
*La mediana de este es el segmento que une a los puntos medios de sus lados.
Un trapezoide isósceles tiene sus lados congruentes:

Ejercicio:
Calcule "x" y "y"

Ángulo de B = 2x+5
Ángulo de C= y
Ángulo de A= x+5
Ángulo de D= 70°
Como AD || EF, (2X-5) + (X+5) = 180°
Entonces 3X = 180° X= 60°
Así mismo Y+70 =180° , Y = 110°

TERCER PARCIAL:

Polígonos, Trapezoides y Polígonos regulares:

Polígonos y sus medidas
*Un polígono, es una figura plana cerrada, acotada por segmentos de linea recta como lados.
*Un n-gono es un polígono de "n" lados.
*Un polígono regular, es equilateral y equiangular

Suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono:
Al trazar diagonales desde un vertice hasta cada uno de los otros, es posible dividir un poligono un poligono de 7 lados en 5 triangulos.
De la siguiente manera

Entonces un polígono de N lados en N-2 triángulos:

*La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de N lados = (N-2 )180°

*La suma de los ángulos externos de un polígono de N lados = 360°

*la suma de las medidas de los ángulos internos = medidas de los ángulos internos de los triángulos.

Polígono Regular:

Polígono regular de N lados, tiene un ángulo interno que mide i y un ángulo externo que mide e (en grados) entonces:

i=((180)(N-2))/N

e= 360/N

i+e= 180

 POLÍGONOS Y TIPOS DE POLÍGONOS

*Un polígono inscrito es un polígono tal que sus lados son cuerdas de un circulo

*Un circulo circunscrito es el que pasa por todos los vértices de un polígono.

*Un polígono circunscrito es un polígono tal que todos sus lados son tangentes a un circulo.

*Un circulo inscrito es aquel para el que son tangentes todos los lados de un polígono.